1的三次方加到n的三次方公式证明

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答:1^3+n^3=(1+n)(1一n+n^2)这叫立方和公式。

同样还有立方差公式x^3一y^3=(x一y)(ⅹ^2+xy+y^2)其符号规律:前括号里与原式符号相同，第二括号交叉项变。

1的三次方加到n的三次方公式证明

 1³+2³+…+（n-1）³+n³=n²（n+1）²/4。这个公式可用数学归纳法证明，也可用差项法推导证明。

设A=1³+2³+...+（n-1）³+n³，再设

B=1²+2²+...n²=n（n+1）（2n+1）/6

C=1+2+3+...+n=n（n+1）/2。

由（n+1）^4-n^4=4n³+6n²+4n+1，可得到下面这个等式

[（n+1）^4-n^4]+[n^4-（n-1）^4]+...+（3^4-2^4）+（2^4-1^4）

=4×（1³+2³+...+n³）+6×（1²+2²+……n²）+4×（1+2+...+n）+n

整理上面等式得

（n+1）^4-1=4A+6B+4C+n

再把（n+1）^4展开，把B=n（n+1）（2n+1）/6，C=n（n+1）/2代入，整理

4A=n^4+2n³+n²=n²（n+1）²

A=n²（n+1）²/4。

1的三次方加到n的三次方公式证明

1到n的三次方和公式是1³+2³+3³+……+n³=[n(n+1)]²/4

立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x^3=a，那么x叫做a的立方根。在平方根中的根指数2可省略不写，但三次方根中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 

1^3+2^3+3^3......+10^3=(55)^2=3025 

1^3+2^3+3^3......+20^3=(210 )^2=44100 

1^3+2^3=3^2=9 1^3+2^3+3^3=6^2=36 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=100 (1+2)^2=

(3)^2=9 (1+2+3)^2=(6)^2=36 (1+2+3+4)^2=(10)^2=100

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

证明：

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]

=(2n^2+2n+1)(2n+1)

=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1

4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1

.....

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有

(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 1^3+2^3+3^3......+10^3=(55)^2=3025 1^3+2^3+3^3......+20^3=(210 )^2=44100 1^3+2^3=3^2=9 1^3+2^3+3^3=6^2=36 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=100 (1+2)^2=(3)^2=9 (1+2+3)^2=(6)^2=36 (1+2+3+4)^2=(10)^2=100

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