1-cos根号x的极限

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因为当x趋近于0时，1-cos根号x=x/2

所以当x趋近于0时，f(x)=[1-cos根号x]/根号x=（x/2）/x=1/2

值域是 [0，√2]

利用公式：cos2a=2cos²a-1 同时cos2a=1-2sin²a

所以：

f(x)=|√(1＋cosx)-√(1－cosx)|

=|√[1＋2cos²(x/2)-1]-√[1-1+2sin²(x/2)]|

=|√[2cos²(x/2)]-√[2sin²(x/2)]|

=|√2|cosx/2|-√2|sinx/2||

而0≤x≤π，则0≤x/2≤π/2

所以sinx/2≥0 且cosx/2≥0

所以:

f(x)=|√2cosx/2-√2sinx/2|

=√2*√2|√2/2cosx/2-√2/2sinx/2|

=2|cosπ/4cosx/2-sinπ/4*sinx/2|

=2|cos(x/2+π/4)|

由于0≤x/2≤π/2，则π/4≤x/2+π/4≤3/4π

①当0≤x/2≤π/4时，π/4≤x/2+π/4≤π/2

所以 0≤cos(x/2+π/4)≤√2/2

则0≤|cos(x/2+π/4)|≤√2/2

得到：0≤2|cos(x/2+π/4)|≤√2

即0≤f(x)≤√2

②当π/4≤x/2≤π/2时，π/2≤x/2+π/4≤3/4π

所以 -√2/2≤cos(x/2+π/4)≤0

则0≤|cos(x/2+π/4)|≤√2/2

得到：0≤2|cos(x/2+π/4)|≤√2

即0≤f(x)≤√2

综合得到：0≤f(x)≤√2

即值域为[0，√2]

1-cos根号x的极限

1-根号下cosx，不能化为二分之一x，在x趋于0时，且相乘关系下，可化为四分之一x的平方。

你可以自己用泰勒公式推导一下，无穷小的等价关系都可以由泰勒公式推导出来，用泰勒公式求极限也是必须掌握的重要方法。

其实碰到1-根号下cosx可以上下同乘以1+根号下cosx。补充： 1：为什么1-cosx可以化为二分之一的x平方。cosx=1-1/2x^2+o(x^2) 1-cosx=1/2x^2+o(x^2)其中o(x^2)为x平方的高阶无穷小。

所以在x趋于0的时候，1-cosx等价于二分之一x的平方。2：为什么在x趋于0时且在相乘关系中可以将1-根号下cosx化简为四分之一x的平方。

在x趋于0时: 1-根号下cosx =(1-cosx)/（1+根号下cosx） =1-cosx/2 =1/4x^

2 注：在相加关系中不可以使用等价无穷小替换，要使用泰勒公式。

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