为何引入勒贝格测度

因为勒贝格积分背后有一个完美的泛函分析理论。

勒贝格理论有以下几个特点：

0 勒贝格积分理论是建立在可测空间和可测映射的基础之上的，可测空间是一种特殊的布尔代数，和概率，统计，信息，逻辑等有密切的关系，所以勒贝格积分理论有更大的普适性。

1 勒贝格可测函列的点态极限是勒贝格可测的，当然一般可测函数也是如此，这是一种自然的完备性，为函数论建立了最一般的框架。

2 勒贝格可积空间有极好的分析性质（如完备性）和拓扑性质（列紧性）。

3 勒贝格积分是一个绝对连续泛函，可以求导数，是物理中的密度场，概率中的条件期望，等的严格数学基础。

4 勒贝格积分保持黎曼积分，拓展了可积函数类。

5 勒贝格积分理论为现代函数论和现代分析学奠定了一般的平台，为偏微分方程，积分方程，概率论，遍历理论，信息科学，数学物理，非交换代数，机器学习，经济学，金融学等等提供了平台和框架。