怎样判断正交矩阵的行列式值是1

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设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量

即有 Ax = λx，且 x≠0。

两边取转置，得 x^TA^T = λx^T

所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx

因为A是正交矩阵，所以 A^TA=E

所以 x^Tx = λ^2x^Tx

由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数

故 λ^2=1

所以 λ=1或-1

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

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