泰勒公式推导与证明

设pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-xo)^2+----+an(x-x0)^n(1)

让x=x0 a0=pn(x0)

对pn(x)两边同时求导 得

pn，x=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)^2+----+n(x-x0)^n-1(2)

对2 令x=xo 得a1=p，n(x0) 类推于是得到

2*1*a2= p，，n(x0)

----------------一般的

n(n-1)*------*3*2*1*an=pn(n)(x0)

从而得到系数公式

a0=pn(x0 ) a1=pn，(x0) a2=pn，，(x0)/2!

-------- an=pn(n)x0/n!

所以多项式pn(x)=f(x0)+f，(x0)/1!(x-x0)+---+fn(x0)/n!(x-x0)^n

所以以上就是泰勒公式的证明过程

利用泰勒公式可以证明e^x的泰勒展开

设f(x)=e^x f，x=e^x fn(x)=e^x

当x=0时候带入泰勒公式

e^x=1+x+x^2/2!+------+x^n/n!

同理f(x)=sinx f，x=cosx f，，x.=-sinx f，，，x=-cosx

f，，，，x=sinx 数学归纳法可知 fn(x)=sin(x+nπ/2)

fn(0)=sinnπ/2 f0=0 f，0=1 f，，0=0 f，，，0=-1f4(0)=0

所以sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+----

又因为cosxdx =dsinx所以

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+----

同理可得tanx 的泰勒

tanx=sec^2x tanx^(2)=2sec^2xtanx

tan，，，x=6sec^4x-4sec ^2x 所以

tanx =x +1/3!x ^3+O (x ^3)